Perte de charge

En mécanique des fluides, la perte de charge correspond à la dissipation, par frottements, de l’énergie mécanique d’un fluide en mouvement[1]. Les équations des pertes de charge distinguent :

les pertes de charges linéaires ;
les pertes de charges singulières.

Cette dissipation d'énergie s'exprime couramment sous la forme d'une variation de pression (on l'appelle aussi delta P). Elle apparait dans l'équation de Bernoulli comme une hauteur de colonne du fluide équivalente à cette variation de pression.

Pour entretenir le déplacement d'un fluide à travers une canalisation par exemple, il faut lui apporter l'énergie correspondante pour compenser celle dissipée par frottement.

Définition

Lorsque l'on est en présence de frottements, le théorème de Bernoulli ne s'applique plus et la charge n'est plus constante. On parle alors de perte de charge.

Pour les fluides incompressibles, on utilise alors le théorème de Bernoulli généralisé, qui s'écrit :

{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+z_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+z_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}+\Delta H

avec

$v$ - vitesse débitante [m s⁻¹]
$g$ - accélération de la pesanteur [m s⁻²]
$z$ - Altitude [m]
$p$ - Pression [Pa]
$\rho$ - masse volumique du fluide [kg m⁻³]
$\Delta H$ - dissipation d'énergie (exprimée en mètres) ou perte de charge [m]

Dans le cas d'un fluide incompressible, si la section du tuyau est constante, alors la vitesse est également constante. L'altitude z étant imposée par l'installation de la canalisation, on voit que la perte de charge se traduit par une diminution de pression.

Une relation plus générale s'écrira :

{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+z_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+z_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}+{\frac {\Delta \mathrm {P} }{\rho g}}

où

\Delta \mathrm {P} =\rho \cdot g\cdot \Delta H

Les pertes de charges linéaires ou régulières

Équation de Darcy-Weisbach

Les pertes de charge régulières sont le plus souvent calculées à partir de l'équation de Darcy-Weisbach[2]:

\Delta H=\Lambda \,{\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {D_{h}} }}\,{\frac {v^{2}}{2\,g}}

avec :

Λ - coefficient de perte de charge (sans unité) ;
v - vitesse moyenne du fluide dans le tuyau (m/s) ;
L - longueur du tuyau (m) ;
D_h - diamètre hydraulique (m), défini par
$\mathrm {D_{h}} ={\tfrac {4\mathrm {S} }{\mathrm {P_{m}} }}$ ,
S étant la section du tuyau et P_m le périmètre mouillé ;
g - accélération de la pesanteur (m/s²).

En utilisant les unités données ci-dessus, la perte de charge est une hauteur, le plus souvent transformée en hauteur d'eau équivalente. En multipliant cette hauteur, le terme de droite de l'équation, par la masse volumique du fluide ρ (en kg/m³) et par $g$ , on obtient la pression équivalente (en Pa ou N/m²). D'où la formule générale:

\rho \cdot g\cdot \Delta H=\Delta \mathrm {P} =\Lambda \,\cdot {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {D_{h}} }}\,\cdot {\frac {\rho \cdot v^{2}}{2\,}}

Formules simplifiées

En pratique les hydrauliciens utilisent pour leurs calculs de pertes de charge des formules empiriques ou des abaques donnant la relation entre la chute de pression et le débit.

En régime turbulent (le plus fréquent avec l'air), elles sont approximativement proportionnelles à la longueur du tuyau L, au carré du débit Q, et inversement proportionnelles à la cinquième puissance du diamètre D. Ces coefficients de puissance sont adaptés selon les matériaux des canalisations.

Plusieurs formules sont utilisées :

formule de Lechapt et Calmon, exprimée en u.S.I.
$\Delta H=1,1\cdot 10^{-3}\cdot \mathrm {Q} ^{1,89}\cdot \mathrm {D} ^{-5,01}\cdot \mathrm {L}$
où les coefficients varient en fonction de la rugosité k de la conduite ;
équation de Hazen-Williams :
$\mathrm {Q} =0,849\cdot \mathrm {C} \cdot \mathrm {A} \cdot \mathrm {R_{h}} ^{0,63}\cdot \mathrm {J} ^{0,54}$
où C est le coefficient de rugosité de Hazen-Williams, R_h est le rayon hydraulique et J le gradient de charge hydraulique ;
équation de Prony :
$\Delta H={\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {D} }}(a\mathrm {V} +b\mathrm {V} ^{2})$
où a et b sont des coefficients empiriques ; cette équation est à l'origine de l'équation de Darcy-Weisbach qui en est une amélioration.

Coefficient de frottement

Définition générale

Le coefficient de frottement, aussi appelé coefficient de Darcy-Weisbach ou coefficient de perte de charge régulière, est une grandeur sans dimensions représentant l'influence du type d'écoulement (laminaire ou turbulent) et de l'aspect de la conduite (lisse ou rugueux) sur la perte de charge[3]. Selon l'équation de Darcy-Weisbach, le coefficient de frottement s'exprime de la façon suivante :

\Lambda =2\cdot \Delta \mathrm {P} \,\cdot {\frac {\mathrm {D_{h}} }{\mathrm {L} \cdot \rho \,\cdot v^{2}}}\,

Cependant, dans la plupart des cas, la perte de charge Δp est inconnue et représente la donnée que l'on cherche à déterminer. C'est pourquoi le coefficient de frottement est déterminé à l'aide de corrélations afin de pouvoir en déduire la perte de charge.

\Delta \mathrm {P} =\Lambda \,\cdot {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {D_{h}} }}\,\cdot {\frac {\rho \cdot v^{2}}{2\,}}

Il peut être aussi déterminé par lecture graphique grâce au diagramme de Moody.

Coefficient de frottement dans le cas d'un régime laminaire

Dans le cas d'un écoulement de Poiseuille, l'approximation conventionnelle du coefficient de frottement[4] est définie par :

\Lambda ={\frac {64}{\mathrm {R_{e}} }}

Cette relation est applicable pour des nombres de Reynolds allant de zéro à 2 300

Coefficient de frottement dans le cas d'un régime turbulent

De façon générale, le coefficient de frottement peut être déterminé à l'aide de la loi universelle de Prandtl[5]. Celle-ci se présente sous la forme d'une équation implicite et est valable pour un écoulement turbulent dans un conduit lisse (Prandtl-Von Karman, 1934) :

{\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}=2\ \log(\mathrm {R_{e}} {\sqrt {\Lambda }})-0{,}8

Pour des nombres de Reynolds allant de 4 000 à 100 000 on peut utiliser la corrélation de Blasius (1911):

\Lambda =0{,}3164\cdot \mathrm {R_{e}} ^{-0{,}25}

Pour les nombres de Reynolds allant de 2 300 à 4 000, il convient de prendre une valeur moyenne entre celles fournies par les deux formules ou d'utiliser un abaque, par exemple donné dans le mémento des pertes de charge I.E IDEL'CIK traduit du russe par Mme M. MEURY.

Les pertes de charge singulières

Les pertes de charge singulières sont essentiellement dues aux accidents de canalisation, c'est-à-dire toute modification géométrique de la conduite. On peut y compter les changements de direction (coudes, raccords en T), les variations de section, les vannes ou robinets, les appareils de mesure, etc ... La perte de charge singulière d'un accident peut se déterminer par calcul ou à l'aide de tables (abaques) où une construction graphique à partir de grandeurs simples donnera un résultat.

Pour le cumul des pertes de charge régulières et singulières, il existe des logiciels commerciaux qui réunissent les équations des pertes régulières et ces abaques avec les données fluides et rugosité pour rapidement trouver et totaliser les pertes de charge de réseaux.

Les pertes de charge s'additionnent en fonction du nombre de ces accidents.

Valeur de Λ pour une réduction brutale de la section de passage offerte au fluide (de S à s) = Λ = 1/2 × (1 - s/S) ; applicable pour des Reynolds supérieurs à 10 000

Valeur de Λ pour un épanouissement brutal de la section de passage offerte au fluide (de s à S) = Λ = (1 - s/S)² ; applicable pour des Reynolds supérieurs à 10 000

Pour la vitesse dans la formule : $\Delta \mathrm {P} =\Lambda \,\cdot {\frac {\rho \cdot v^{2}}{2\,}}$ , prendre la vitesse dans la section réduite (s)

À défaut utiliser le memento des pertes de charge I.E IDEL'CIK traduit du russe par Mme M. MEURY

Notes et références

I.E. Idel'cik, Mémento des pertes de charges : Coefficients de pertes de charge singulières et de pertes de charge par frottement, Eyrolles, novembre 1986, 3^e éd., 504 p. (ISBN 2-212-05900-0)
Ion Paraschivoiu, Michel Prud'homme, Luc Robillard et Patrick Vasseur, Mécanique des fluides, Montréal, Presses internationales Polytechnique, 2003, 450 p. (ISBN 2-553-01135-0), p. 324
Sakir Amiroudine et Jean-Luc Battaglia, Mécanique des fluides : Cours et exercices corrigés, Dunod, 2011, 320 p. (ISBN 978-2-10-054933-7)
(en) Krzysztof Dutkowski, « Experimental investigations of Poiseuille number laminar flow of water and air in minichannels », International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 51, n^os 25-26,‎ 2008, p. 5983–5990
(en) Ning Hsing Chen, « An Explicit Equation for Friction Factor in Pipe », American Chemical Society,‎ 1979

Voir aussi

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[1] I.E. Idel'cik, Mémento des pertes de charges : Coefficients de pertes de charge singulières et de pertes de charge par frottement, Eyrolles, novembre 1986, 3^e éd., 504 p. (ISBN 2-212-05900-0)

[Paraschivoiu-2] Ion Paraschivoiu, Michel Prud'homme, Luc Robillard et Patrick Vasseur, Mécanique des fluides, Montréal, Presses internationales Polytechnique, 2003, 450 p. (ISBN 2-553-01135-0), p. 324

[3] Sakir Amiroudine et Jean-Luc Battaglia, Mécanique des fluides : Cours et exercices corrigés, Dunod, 2011, 320 p. (ISBN 978-2-10-054933-7)

[4] (en) Krzysztof Dutkowski, « Experimental investigations of Poiseuille number laminar flow of water and air in minichannels », International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 51, n^os 25-26,‎ 2008, p. 5983–5990

[5] (en) Ning Hsing Chen, « An Explicit Equation for Friction Factor in Pipe », American Chemical Society,‎ 1979