Arc (géométrie)

Sur la figure, la longueur de l'arc de cercle est L.

• La longueur d'un arc de cercle de rayon ${\displaystyle r}$ et sous-tendant un angle ${\displaystyle \theta \,\!}$ (mesuré en radians), avec le centre du cercle — c'est-à-dire l'angle au centre — est égale à ${\displaystyle \theta r\,\!}$. En effet :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {circonference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}{\text{ ;}}}$

en substituant la circonférence :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} }{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }}{\text{ ;}}}$

et en isolant L :

${\displaystyle \mathrm {L} =\theta r{\text{.}}}$

Un angle de ${\displaystyle \alpha \,\!}$ degrés a une taille en radians donnée par la relation :

${\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{180}}\pi {\text{ ;}}}$

et donc la longueur de l'arc vaut également (quand l'angle est en degrés) :

${\displaystyle \mathrm {L} ={\frac {\alpha \pi r}{180}}{\text{.}}}$

• Les longueurs c et f de la corde et la flèche valent :

${\displaystyle c=2r\sin(\theta /2),\quad f=r\left(1-\cos(\theta /2)\right)}$

donc

${\displaystyle \theta =2\arcsin \left({\frac {c}{2r}}\right)=2\arccos \left(1-{\frac {f}{r}}\right).}$

Inversement, connaissant c et f, on peut déterminer le rayon (par exemple à l'aide de la dernière égalité et de l'identité cos² + sin² = 1, ou en exprimant de deux façons la puissance du point d'intersection de la corde et la flèche : –f(2r – f) = –(c/2)²) :

${\displaystyle r={\frac {f}{2}}+{\frac {c^{2}}{8f}}.}$

Les formules précédentes permettent ensuite d'exprimer, également en fonction de c et f, l'angle au centre et la longueur de l'arc.

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