Frottement fluide

La loi de frottement locale caractérise le comportement rhéologique d'un fluide. Les fluides les plus courants obéissent à la loi indiquée ci-dessous, on dit qu'ils sont newtoniens (ou qu'ils ont un comportement newtonien). D'autres fluides (diverses pâtes, certaines peintures, les boues, les laves, etc.) ont un comportement différent, mais on les considère parfois comme newtoniens, en première approximation.

La force de frottement fluide exercée par une couche de fluide (newtonien) sur une autre ou par un fluide newtonien sur une paroi solide s'exprime localement sous la forme d'une force par unité de surface :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {F}}=\eta \,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{\parallel }}{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {d} S}$

où :

${\displaystyle \mathrm {d} S}$ est une portion de surface (infinitésimale), de la paroi ou au sein du fluide ;

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {F}}}$ est la force de frottement exercée par le fluide sur la surface ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ ;

${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$ est la vitesse tangentielle, c'est-à-dire la composante parallèle à la surface de la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (vitesse du fluide pour le frottement interne, vitesse relative du fluide et du solide pour le frottement sur une paroi) ;

${\displaystyle z}$ est la distance à la surface ;

${\displaystyle \eta }$ est la viscosité du fluide.

La dérivée ci-dessus est prise en un point de la surface. Quand c'est à une paroi solide qu'on s'intéresse la vitesse relative du fluide et de la paroi s'annule au point de contact.

C'est en fait la relation ci-dessus qui définit le comportement newtonien d'un fluide. Chaque type de fluide non-newtonien se caractérise par une relation différente.

La force de frottement (globale) exercée sur un objet solide en mouvement (par rapport au fluide qui l'entoure) est la résultante des forces de frottement (locales) exercées en tous les points de sa surface de contact avec le fluide.

La force de frottement globale dépend de la vitesse du solide (relativement au fluide à grande distance des parois). Dans le cas d'un fluide newtonien :

• quand la vitesse relative est suffisamment faible (écoulement de Stokes), la force de frottement globale est proportionnelle à cette vitesse relative ;
• à plus grande vitesse relative la relation entre force et vitesse se complique en raison des turbulences dans le fluide, mais à suffisamment grande vitesse la force de frottement globale devient proportionnelle au carré de la vitesse relative.

Étudions l'exemple cité plus haut de la bille qu'on lâche dans un liquide. Ce modèle n'est valable que pour des vitesses très faibles (v < 5 m/s dans l'air par exemple).

Soit une bille de masse m. Dans certaines conditions (notamment un nombre de Reynolds faible) on peut admettre que la force de frottement fluide qui s'exerce sur elle est de la forme F = - k v, où k représente le coefficient de résistance de l'objet (la bille) dans le liquide en question. k dépend de la forme de l'objet (en l'occurrence pour la bille de son diamètre), de la viscosité du fluide et de la facilité qu'a la matière constituant l'objet de pénétrer le liquide.

L'équation décrivant le déplacement de la bille[1] est donnée par le principe fondamental de la dynamique :

${\displaystyle m{\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {v}}}{{\rm {d}}t}}=m{\boldsymbol {g}}-k{\boldsymbol {v}}}$,

où g est la pesanteur terrestre. En projetant cette équation sur un axe vertical ascendant (${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{y}{\boldsymbol {k}}}$ ; ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}=-g{\boldsymbol {k}}}$), on a

${\displaystyle m{\frac {{\rm {d}}v_{y}}{{\rm {d}}t}}=-mg-kv_{y}}$,

qui se résout en tant qu'équation différentielle du premier ordre à coefficients constants et à second membre, dont la solution s'écrit

${\displaystyle v_{y}=-{\frac {mg}{k}}\left(1-e^{{\frac {-k}{m}}t}\right)}$

en prenant comme condition initiale une vitesse nulle (à t = 0). Cette vitesse est bien négative puisque la bille tombe.

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}v_{y}}{{\rm {d}}t}}=-ge^{{\frac {-k}{m}}t}}$

Au bout d'un certain temps (t ~ 5m/k), la vitesse tend vers une valeur constante (vitesse limite) donnée par

${\displaystyle v_{limit}={\frac {ma}{k}}=-{\frac {mg}{k}}}$.

L'équation peut donc s'écrire:

${\displaystyle v_{y}=(v_{0y}-v_{limit})e^{{\frac {-k}{m}}t}+v_{limit}}$

${\displaystyle y_{t}={\frac {m}{k}}(v_{0y}-v_{limit})(1-e^{{\frac {-k}{m}}t})+v_{limit}t+y_{0}}$

Ce comportement d'une vitesse qui tend vers une valeur constante tant qu'une force s'exerce a longtemps été érigé en principe fondamental par Aristote, ce qui a ralenti le développement de la mécanique moderne, qui explique que le mouvement peut perdurer en l'absence de forces extérieures (et donc de forces de frottement).