Flux thermique

Les définitions qui suivent décrivent un transfert thermique à travers une paroi (un mur par exemple) homogène et isotrope, de surface ${\displaystyle S}$, d'épaisseur ${\displaystyle e}$ et de conductivité thermique ${\displaystyle \lambda }$ constante, séparant deux milieux fluides en mouvement. La chaleur est transférée entre le milieu chaud de température ${\displaystyle T_{c}}$ et le milieu froid de température ${\displaystyle T_{f}}$, à travers la paroi. On suppose que ces températures et les coefficient de convection thermique ${\displaystyle h_{c}}$ et ${\displaystyle h_{f}}$ afférents aux fluides sont constants et uniformes par rapport aux surfaces de contact[1].

Ce transfert se fait par convection entre le fluide chaud ou froid et la paroi solide et par conduction à travers celle-ci. La surface spécifique de la paroi peut être simple et plane ou importante par des replis ou des ramifications. La matière est forcée d'en parcourir la surface, pour que le flux thermique transféré soit maximal.

La Convection thermique dans le fluide chaud est régie par un coefficient de convection thermique ${\displaystyle h_{c}}$ (en watts par mètre carré-kelvin) qui permet de définir une résistance thermique de convection ${\displaystyle R_{cv}={\frac {1}{h_{c}\cdot S}}}$, en kelvins par watt.

La convection dans le fluide froid est régie par un coefficient de convection thermique ${\displaystyle h_{f}}$ (en watts par mètre carré-kelvin) qui permet de définir une résistance thermique de convection ${\displaystyle R_{cv}={\frac {1}{h_{f}\cdot S}}}$, en kelvins par watt.

La conduction à travers la paroi solide d’épaisseur ${\displaystyle e}$ est régie par la conductivité thermique ${\displaystyle \lambda }$ (en watts par mètre-kelvin) qui permet de définir une résistance thermique de conduction ${\displaystyle R_{co}={\frac {e}{\lambda \cdot S}}}$, en kelvins par watt.

Les résistances thermiques surfaciques ${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{h_{f}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {e}{\lambda }}}$ ou coefficients d'isolation thermique surfaciques correspondants s'expriment en mètres carrés-kelvins par watt.

Le flux thermique ${\displaystyle {\Phi }}$ à travers une surface d'échange exprimé en watts, s'obtient par la formule : ${\displaystyle \Phi ={\frac {T_{c}-T_{f}}{{\frac {1}{h_{c}\cdot S}}+{\frac {1}{h_{f}\cdot S}}+{\frac {e}{\lambda \cdot S}}}}}$

soit : ${\displaystyle \Phi =US(T_{c}-T_{f})={\frac {1}{R_{T}}}S(T_{c}-T_{f})}$

• ${\displaystyle T_{c}}$ et ${\displaystyle T_{f}}$ sont les températures de part et d'autre et à hauteur de la surface d'échange, exprimées en kelvins.
• ${\displaystyle S}$ désigne la surface d'échange en mètres carrés.

La résistance thermique totale ${\displaystyle \left({\frac {1}{h_{c}\cdot S}}+{\frac {1}{h_{f}\cdot S}}+{\frac {e}{\lambda \cdot S}}\right)}$ s'exprime en kelvins par watt. Attention de ne pas confondre la résistance thermique totale avec la résistance thermique surfacique ${\displaystyle R_{T}}$ définie ci-après.

• ${\displaystyle U}$ (quelquefois noté ${\displaystyle k}$) est le coefficient de transmission thermique surfacique exprimé en watts par mètre carré-kelvin : ${\displaystyle U={\frac {1}{R_{T}}}={\frac {1}{{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{f}}}+{\frac {e}{\lambda }}}}}$. C'est aussi l'inverse de ${\displaystyle {R_{T}}}$, la résistance thermique surfacique totale (ou coefficient d'isolation thermique surfacique total), exprimée en mètres carrés-kelvins par watt : ${\displaystyle {R_{T}}={\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{f}}}+{\frac {e}{\lambda }}}$.

Dans la pratique les surfaces d'échanges de part et d'autre de la paroi ne sont pas identiques. Il faut donc introduire dans la formule deux surfaces ${\displaystyle S_{c}}$ et ${\displaystyle S_{f}}$. De même les parois d’échange en métal dans les échangeurs thermiques par exemple, se recouvrent d’un film d’encrassement composé de dépôts de tartre et de salissures qui ont une conductivité thermique faible par rapport à celle du métal, et constituent donc des résistances thermiques supplémentaires s’opposant à l’échange. Des résistances d'encrassement ont été déterminées pour les différents fluides[2].

Deux couches limites thermiques de faible épaisseur, adjacentes à la paroi sont le lieu d'une différence de température ${\displaystyle (T_{c1}-T_{c})}$ et ${\displaystyle (T_{f}-T_{f1})}$. Elles sont le siège d'une résistance thermique d'échange superficielle[1]. Dans le cas d'un transfert thermique à travers un mur les valeurs ${\displaystyle R_{cv}}$ ne prennent pas en compte les apports de chaleurs par rayonnement. Les textes officiels donnent des valeurs de résistance thermique d'échange superficielle interne et externe (${\displaystyle R_{si}}$ et ${\displaystyle R_{se}}$) qui tiennent compte des phénomènes de convection et de rayonnement[3].

En régime stationnaire et en l'absence de sources internes de chaleur, la densité de flux thermique ${\displaystyle {\varphi }}$ se conserve c'est-à-dire que le flux thermique cédé par le fluide chaud à la paroi égale le flux à travers la paroi, égale le flux cédé par la paroi au fluide froid[1]. Ce qui signifie que : ${\displaystyle \varphi ={\frac {\lambda }{e}}(T_{c}-T_{f})=h_{c}(T_{c1}-T_{c})=h_{f}(T_{f}-T_{f1})}$.

On cherche à établir la relation donnant ${\displaystyle \Delta T}$ entre parois d'un tube d'échangeur. Le tube est le siège d'un transfert thermique entre un fluide chaud intérieur au tube et un fluide froid extérieur au tube.

• Tube d'échangeur de chaleur de diamètre intérieur ${\displaystyle D_{i}}$, rayon intérieur ${\displaystyle R_{i}}$, diamètre extérieur ${\displaystyle D_{e}}$ et rayon extérieur ${\displaystyle R_{e}}$.
• Conductivité du matériau du tube = ${\displaystyle \lambda }$ en W/m/K.
• La puissance linéique échangée le long du tube est : ${\displaystyle W_{l}}$.
• Le flux de chaleur au travers de la surface cylindrique de rayon ${\displaystyle r}$ avec ${\displaystyle R_{e}>r>R_{i}}$ est égal à : ${\displaystyle \phi ={\frac {W_{l}}{2\cdot \pi \cdot r}}}$

Équation de la chaleur

${\displaystyle -\lambda \cdot {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}=\phi ={\frac {W_{l}}{2\cdot \pi \cdot r}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {W_{l}}{2\cdot \pi \cdot \lambda }}\cdot \left({\frac {1}{r}}\right)}$

soit

${\displaystyle T=T_{o}-{\frac {W_{l}}{\lambda \cdot 2\cdot \pi }}\cdot \ln(r)}$

${\displaystyle T_{i}=T_{o}-{\frac {W_{l}}{\lambda \cdot 2\cdot \pi }}\cdot \ln(R_{i})}$

${\displaystyle T_{e}=T_{o}-{\frac {W_{l}}{\lambda \cdot 2\cdot \pi }}\cdot \ln(R_{e})}$

d’où

${\displaystyle (T_{i}-T_{e})={\Delta }T={W_{l} \over 2\cdot \pi \cdot \lambda }\cdot \ln \left({R_{e} \over R_{i}}\right)}$

Conductivité thermique de l'oxyde d'uranium non irradié et du zirconium en fonction de la température

On se propose de retrouver par un calcul simple l'ordre de grandeur de la température à cœur d'un crayon combustible de réacteur nucléaire de puissance à eau sous pression. La température de l'eau primaire réfrigérant le combustible est voisine de 304,5 °C Le rayon des pastilles combustibles cylindriques noté ${\displaystyle R}$ est de 4,1 mm.

Les crayons combustibles sont le siège d'une puissance thermique volumique constante émise par l'oxyde d'uranium contenu notée ${\displaystyle w}$, égale à 350 W¹ cm⁻³. La conductivité thermique de l'oxyde d'uranium ${\displaystyle \lambda }$ est de 2,75 W m⁻¹ K⁻¹.

• La puissance émise dans le cylindre de rayon ${\displaystyle r}$ de longueur ${\displaystyle z}$ est égale à ${\displaystyle P=\pi \cdot r^{2}\cdot z\cdot w}$.
• La surface du cylindre vaut ${\displaystyle \quad 2\cdot \pi \cdot r\cdot z}$.

Le flux de chaleur au travers du cylindre de rayon ${\displaystyle r}$ est égal à :

${\displaystyle \phi ={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot z\cdot w}{2\cdot \pi \cdot r\cdot z}}={\frac {r\cdot w}{2}}}$.

Équation de la chaleur

${\displaystyle -\lambda \cdot {\mathrm {d} T \over \mathrm {d} r}=\phi ={r\cdot w \over 2}}$,

${\displaystyle T(r)=T_{\text{max}}-{r^{2}\cdot w \over 4\cdot \lambda }}$,

où ${\displaystyle T_{\text{max}}}$ est la température maximale au centre du crayon.

La température en surface de la pastille, notée ${\displaystyle T_{p}=T_{\text{max}}}$ est égale à :

${\displaystyle T_{p}=T_{\text{max}}-{R^{2}\cdot w \over 4\cdot \lambda }}$,

d'où

${\displaystyle T_{\text{max}}=T_{p}+{w\cdot R^{2} \over \lambda \cdot 4}=T_{p}+{w\cdot D^{2} \over \lambda \cdot 16}}$

La température moyenne des pastilles est égale à :

${\displaystyle T_{\text{moy}}={1 \over S}\cdot \int _{o}^{S}T\cdot \mathrm {d} S={1 \over S}\cdot \int _{o}^{S}T(r)\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot \mathrm {d} r}$,

avec

${\displaystyle T(r)=T_{\text{max}}-r^{2}\cdot {w \over 4\cdot \lambda }}$ et ${\displaystyle S=\pi \cdot R^{2}}$.

${\displaystyle T_{\text{moy}}={1 \over \pi \cdot R^{2}}\cdot \int _{o}^{R}\left(T_{\text{max}}-r^{2}\cdot {w \over 4\cdot \lambda }\right)\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot \mathrm {d} r={1 \over R^{2}}\cdot \left(T_{\text{max}}\cdot R^{2}-{w \over 8\cdot \lambda }\cdot R^{4}\right)}$

${\displaystyle T_{\text{moy}}=T_{\text{max}}-\left({\frac {w\cdot R^{2}}{8\cdot \lambda }}\right)}$

${\displaystyle T_{\text{moy}}=T_{p}+{w\cdot R^{2} \over \lambda \cdot 8}=T_{p}+{w\cdot D^{2} \over \lambda \cdot 32}}$

Numériquement :

${\displaystyle T_{p}}$ vaut sensiblement 350 °C.

${\displaystyle T_{\text{moy}}-T_{p}=R^{2}\cdot {\frac {w}{(\lambda \cdot 8)}}=\left(0{,}0041^{2}\cdot {\frac {350\cdot 10^{6}}{2,75\cdot 8}}\right)=267\ ^{\circ }\mathrm {C} }$

${\displaystyle T_{\text{moy}}=617\ ^{\circ }\mathrm {C} }$

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